相手方が認知に応じない場合にはどうしたらよいですか。

まずは、家庭裁判所に認知を求める調停申立てをしましょう。
相手方が認知することに合意したときは、裁判所が合意に相当する審判を行い、これにより認知の効果が発生します。
調停でも同意がなければ、家庭裁判所に認知の訴えを提起することになります。
これら手続きの中では、父と子の親子関係を証明する必要があり、ＤＮＡ鑑定が最も有効な判定方法とされています。